Limite por definição lim(x,y) -> (0,0) (x^3+y^3) / (x^2 + y^2)

[Whitesttax]

Não estou conseguindo resolver essa questão:
Limite quando (x,y) -> (0,0) de \((x^3+y^3) / (x^2 + y^2)\)
Tentei o método dos dois caminhos mas ambos deram 0, então tenho que ir para definição.
Cheguei até aqui, \((\left | x^3 \right |+\left | y^3 \right |)/(x^2 + y^2) < \varepsilon\)
Como tem o ^3 em cima, não faço ideia de como relacionar o o delta.
Obrigado!

[santhiago]

Dica : \(( \forall (x,y ) \neq (0,0) ) \frac{x^2}{x^2 + y^2 } \leq 1\) .Daí , multiplicando ambos lados por \(|x|\) vc ganha o seguinte : \(\frac{|x|^3}{x^2 + y^2 } \leq |x|\) . Trocando \(x\) com\(y\) vc tbm ganha \(\frac{|y|^3}{x^2 + y^2 } \leq |y |\) . Segue daí que \(| \frac{x^3 + y^3 }{x^2 + y^2 } | \leq |x| + |y|\) . Esta majoração por sua vez já deixa claro que o limite existe e é zero ,já que a mesma define uma norma para o [tex] \mathbb{R}^2 [\tex] chamada a norma da soma . Logo , segundo esta norma , dado qq [tex] \epsilon > 0 [\tex] basta tomar [tex] \delta = \epsilon [\tex] . Limite é um conceito puramente topológico e para R^2 qualquer duas normas (mais geralmente qualquer espaço normado de dimensão finita ) geram a mesma topologia . Com a norma usual Euclidiana tbm é fácil mostrar que o limite existe e vale zero . Pois a norma euclidiana é majorada pela norma da soma . (i.e, para todo (x,y) : x^2 + y^2 <= ( |x| + |y| )^2 ) . Espero que ajude e lhe dê o insight para tarabalhar com problemas similares ...

[Whitesttax]

Você acha que eu teria problemas ao resolver a questão igual você fez na prova, caso a professora peça por definição?