Equação do Plano Tangente - Plano Paralalelo

[raimundojr]

Determine uma equação do plano que é paralelo ao plano z=2x+y e é também tangente ao gráfico da função f(x, y)=x²+y².

Comentário: Sei que pelo menos um vetor normal ao plano pode ser calculado por \(\vec{n}=(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}, y_{0}), \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}, y_{0}), -1)\).

[Man Utd]

Determine uma equação do plano que é paralelo ao plano z=2x+y e é também tangente ao gráfico da função f(x, y)=x²+y².

Comentário: Sei que pelo menos um vetor normal ao plano pode ser calculado por \(\vec{n}=(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}, y_{0}), \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}, y_{0}), -1)\).

olá

sabemos que a equação do plano tangente de duas variáveis é dado por: \(\\\\ \frac{\partial f}{\partial x}(xo,yo)*(x-xo)+\frac{\partial f}{\partial y}(xo,yo)-(z-zo)=0\) , sabemos tbm que \(\frac{\partial f}{\partial x}(xo,yo)=2x\) , e , \(\frac{\partial f}{\partial y}(xo,yo)=2y\), então teremos que o vetor normal do plano tangente será dado por \(\vec{n}=(2x,2y,-1)\).

Agora queremos que seja paralelo ao plano \(z=2x+y\) que tem como vetor normal \(\vec{m}=(2,1,-1)\) , para isso bastar ter :

\(\\\\\\ \vec{n}=k*\vec{m} \\\\\\ (2x,2y,-1)=k*(2,1,-1) \\\\\\ (2x,2y,-1)=(2k,k,-k) \\\\\\ x=k \Leftrightarrow x= 1 \\\\y=\frac{k}{2}\Leftrightarrow y=\frac{1}{2} \\\\ k=1\)

susbtituia o valor de x e y em \(f(x,y)=x^{2}+y^{2} \\\\ f(1,\frac{1}{2})=\frac{5}{4}\)

então o ponto é \((1,\frac{1}{2},\frac{5}{4})\).

bastar simplificar a expressão abaixo para obter a equação do plano:

\(\\\\\\ 2(x-1)+1(y-\frac{1}{2})-(z-\frac{5}{4})=0\)


att,favor confira o gabarito,para sabermos se é isto.