Provar que função é constante nas retas

[magicayro]

Não entendi o que essa questão quis dizer e não faço a mínima ideia de como resolver.
Estou precisando muito. É a última questão que falta de uma lista bem grande que estou resolvendo. Agradeço qualquer ajuda. Obrigado!

[santhiago]

Tenho uma sugestão
.
Defina \(g : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) dada pela regra de associação \(g(y) = f(y,c +2y)\) .Mostre que \(g'(y) = 0\) para todo \(y\) e com isso conclua que \(g\) é constante .

Espero que ajude .

[santhiago]

Corrigindo :

\(g(y) =f(c+2y,y)\) .

[magicayro]

Olá Santhiago!
Obrigado pela resposta.

Na verdade eu confesso que entendi MAIS OU MENOS. Tomei sua sugestão e tentei resolver. Saiu assim.....

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Está certo? (desculpe pela notação. No lugar de df/dx eu escrevi f '/dx, assim como também troquei df/dy por f '/dy)

[santhiago]

Bom dia .Note que a notação \(f_x\) designa a derivada parcial da função \(f\) com repeito a variável \(x\) e que \(g(y)\) é um número real . Pela regra da cadeia (veja : http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_da_cadeia ) ,

\(g'(y) = {\frac{\partial }{\partial x}}f(2y+c,y) \cdot \frac{d}{dy}(2y+c) + {\frac{\partial }{\partial y}}f(2y+c,y) \cdot \frac{dy}{dy} = 2f_x (2y+c,y) + f_y (2y+c,y)\)

Agora basta usar a hipótese .