Problema sobre HAMILTONIANO!!
14 jun 2012, 20:42
Boa noite, alguém poderia me ajudar com a resolução deste problema?!
Ficaria muito grata se me dessem uma luz nisso
Obrigada
Ficaria muito grata se me dessem uma luz nisso
Obrigada
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Re: Problema sobre HAMILTONIANO!! DUVIDA, URGENTE!!
15 jun 2012, 10:30
Caríssima, isto não é um forum de física.
Para a)
\(\frac{dq}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}\)
\(\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q} = -\frac{dU(q)}{dq}\)
Para b)
\(\frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial t} +\frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial q} \frac{p}{m} +\frac{\partial H}{\partial t}(-\frac{dU(q)}{dq}) = \frac{dU(q)}{dq} \frac{p}{m} +\frac{p}{m}(-\frac{dU(q)}{dq}) = 0\)
Para a)
\(\frac{dq}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}\)
\(\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q} = -\frac{dU(q)}{dq}\)
Para b)
\(\frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial t} +\frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial q} \frac{p}{m} +\frac{\partial H}{\partial t}(-\frac{dU(q)}{dq}) = \frac{dU(q)}{dq} \frac{p}{m} +\frac{p}{m}(-\frac{dU(q)}{dq}) = 0\)
Re: Problema sobre HAMILTONIANO!! DUVIDA, URGENTE!!
15 jun 2012, 14:47
Desculpe, mas recorri a este fórum porque este exercício foi.me proposto em uma ficha de Cálculo II.
Muito obrigada pela ajuda.
Já agora, sabe me dar alguma informação sobre a alínea c)?
Obrigada
Muito obrigada pela ajuda.
Já agora, sabe me dar alguma informação sobre a alínea c)?
Obrigada
Re: Problema sobre HAMILTONIANO!! DUVIDA, URGENTE!!
15 jun 2012, 15:52
Usa o resultado de b)
\(\frac{\partial H}{\partial t} = 0\)
\(\frac{d}{dt} \frac{p^2}{2m} +\frac{d}{dt}U(q) = 0\)
\(\frac{pp'}{m} =-\frac{d}{dt}U(q)\)
\(\frac{pp'}{m} =-\frac{d}{dt}U(q)\)
Agora podemos integrar nos dois lados em ordem a t
\(\frac{p^2}{2} =-m.(-E+U(q))\)
\(\frac{(q'.m)^2} =-2m.(-E+U(q))\)
\(q'^2 =-\frac{2}{m}.(-E+U(q))\)
\(q'^2 =\frac{2}{m}.(E-U(q))\)
\(q' =\pm sqrt{\frac{2}{m}.(E-U(q))}\)
\(\frac{\partial H}{\partial t} = 0\)
\(\frac{d}{dt} \frac{p^2}{2m} +\frac{d}{dt}U(q) = 0\)
\(\frac{pp'}{m} =-\frac{d}{dt}U(q)\)
\(\frac{pp'}{m} =-\frac{d}{dt}U(q)\)
Agora podemos integrar nos dois lados em ordem a t
\(\frac{p^2}{2} =-m.(-E+U(q))\)
\(\frac{(q'.m)^2} =-2m.(-E+U(q))\)
\(q'^2 =-\frac{2}{m}.(-E+U(q))\)
\(q'^2 =\frac{2}{m}.(E-U(q))\)
\(q' =\pm sqrt{\frac{2}{m}.(E-U(q))}\)
Re: Problema sobre HAMILTONIANO!! DUVIDA, URGENTE!!
15 jun 2012, 17:47
Boas estava a tentar resolver também este problema e nao consigo perceber 3 passagens na sua resolução, como passa de:
\(\frac{d}{dt}\frac{p^2}{2m}\) para \(\frac{p p'}{m}\)
e na passagem seguinte de:
\(\frac{p p'}{m}\) para \(\frac{p^2}{2}\)
e também como passa de:
\(-\frac{d}{dt}U(q)\) para \(-m.(-E+U(q))\)
Não estou muito acostumado a resolver este tipo de exercícios, mas este despertou me interesse.
\(\frac{d}{dt}\frac{p^2}{2m}\) para \(\frac{p p'}{m}\)
e na passagem seguinte de:
\(\frac{p p'}{m}\) para \(\frac{p^2}{2}\)
e também como passa de:
\(-\frac{d}{dt}U(q)\) para \(-m.(-E+U(q))\)
Não estou muito acostumado a resolver este tipo de exercícios, mas este despertou me interesse.
Re: Problema sobre HAMILTONIANO!! DUVIDA, URGENTE!!
15 jun 2012, 18:18
\(\frac{d}{dt}\frac{p^2}{2m}= \frac{\frac{d(p^2)}{dt}}{2m} = \frac{\frac{dp^2}{dp}\frac{dp}{dt}}{2m}=\frac{p.p'}{m}\)
No outro caso, integro em ordem a t desde \(t= -\infty\) a um tempo presente. Nota que \(E= U(-\infty)\), ou, de um modo geral, E é o nível de energia do qual partimos (nem precisa de ser desde menos infinito. Pode ser um tempo conhecido e bem definido)
No outro caso, integro em ordem a t desde \(t= -\infty\) a um tempo presente. Nota que \(E= U(-\infty)\), ou, de um modo geral, E é o nível de energia do qual partimos (nem precisa de ser desde menos infinito. Pode ser um tempo conhecido e bem definido)