Integral dupla

[Claudio Paraná]

Encontre o volume do sólido limitado superiormente por \(z = {e}^{x+2y}\) e inferiormente pelo triangulo D com vertices em (0,0), (1,0), (0,1)

[flaviosouza37]

Os pontos (0,0);(0,1);(1,0) geram um triangulo retângulo com hipotenusa dada por y=-x+1.

\(V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{-x+1}e^{x+2y}dydx\)

resolvendo primeiro \(\int_{0}^{-x+1}e^{x+2y}dy\)

\(u=x+2y\)
\(du=2dy\)
\(\frac{1}{2}\int_{0}^{-x+1}e^{u}du=\frac{1}{2}(e^{x+2y})_{0}^{-x+1}=\frac{1}{2}(e^{(-x+2)}-e^x)\)

\(\int_{0}^{1}\frac{1}{2}(e^{(-x+2)}-e^x)dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(e^{(-x+2)}-e^x)dx=\frac{1}{2}(\int_{0}^{1}e^{(-x+2)}dx-\int_{0}^{1}e^xdx)\)

\(w=-x+2\)
\(dw=-dx\)

\(\frac{1}{2}(-\int_{0}^{1}e^{(w)}dw-\int_{0}^{1}e^xdx)=\frac{1}{2}(-(e^{(-x+2)})_{0}^{1}-(e^x)_{0}^{1})=\frac{1}{2}(-e+e^2-e+1)=\frac{1}{2}(e-1)^2\)

[Sobolev]

Só uma chamada de atenção. Flávio, o primeiro integral que escreveu não faz qualquer sentido... Felizmente iguala imediatamente a o outro que faz. Não percebi se queria indicar também a outra ordem de integração, ou qual foi a motivação para escrever esse integral.

[flaviosouza37]

pq não não faz sentido? na primeira coloquei o limite de integração em x e depois em y, depois apliquei fubini pra inverter a ordem.

[Sobolev]

Experimente fazer o cálculo por essa ordem e verá logo porque não faz sentido... Quando passa aos integrais iterados os limites do primeiro integral (último a ser calculado) têm sempre que ser constantes. A outra ordem de integração corresponderia a

\(\int_0^1 \int_0^{1-y} e^{x+2y} dx \, dy\)

que equivale a descrever a mesma região, indicando primeiro a variação em y.

[flaviosouza37]

entendi agora, não ficaria igual a outra integral msm.

Vou apagar o erro pra não confundir alguem q veja.