função diferencial

[Claudete]

O ponto crítico (0,0) da função f(x,y) = 4x^2 -2xy +y^2 ? calcule f_(xx) (0,0)*f_(y,x) (0,0) - [f_xy (0,0)]^2

[josesousa]

Pode reformular a questão?

[Claudete]

Considerando a função f(x,y)=4x^2 - 2xy +y^2 , o ponto crítico (0,0) é? Sugestão calcule f(x,x)(0,0) * f(y,x)(0,0) - [f(x,y)(0,0)]^2
Opções: a)máximo relativo.
b)mínimo relativo.
c)nada se conclui.
d)máximo absoluto.
e)ponto de sela.

[josesousa]

OK!

Em primeiro lugar, é óbvio que (0,0) é ponto crítico.

Para avaliar esse ponto, calculamos a matriz Hessiana

\(H(x,y)=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{pmatrix}\)

Repare que det(H(0,0)) é exactamente a expressão que pede para avaliar. E é esse valor que nos dirá mais sobre esse ponto crítico.
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 8
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2\)

Logo,

\(det {H(0,0)} = 8.2-2^2 = 16-4 = 12 >0\)

Ora se \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}>0\) e \(det {H(0,0)} >0\), H é positiva definida (todos os valores próprios são positivos) e esse ponto crítico é um mínimo relativo.

Será um mínimo absoluto?

Vamos ver quantos pontos críticos há.

\(\partial f /\partial x = 0 => 8x-2y=0=>y=4x\)
\(\partial f /\partial y = 0 => -2x+2y=0=>y=x\)
Ora y=-4x e y=x só têm em comum o ponto (0,0)

Logo, só existe um ponto crítico, que é um mínimo local. Mas como é único ponto crítico, é mínimo absoluto também.

[Claudete]

Demais, obrigada.