Regra da cadeia da derivada

[vinipro7]

Considere uma função diferenciável w=f(x,y), onde x=rcos \(\Theta\) e y= rsen\(\Theta\)

a) mostre que \((w_x)^2+(w_y)^2= (w_r)^2+\frac{1}{r^2}(w_\Theta )^2\)

[João P. Ferreira]

tem que usar a regra da derivada em cadeia

\(w_x=\frac{dw}{dx}=\frac{df}{dx}\frac{dx}{d\phi }\\ \\ w_x=\frac{dw}{dx}=\frac{df}{dx}(-r sen(\phi))\\ \\ w_y=\frac{dw}{dy}=\frac{df}{dy}(r cos(\phi))\\\)

fazendo a soma dos quadrados como na expressão...

\(\left(\frac{df}{dx}(-r sen(\phi)) \right )^2+\left(\frac{df}{dy}r cos(\phi) \right )^2=...\)

lembre-se ainda que

\(w_r=\frac{dw}{dr}=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dr}+\frac{df}{dy}+\frac{dy}{dr}\)

\(w_r=\frac{dw}{d\phi}=\frac{df}{dx}\frac{dx}{d\phi}+\frac{df}{dy}+\frac{dy}{d\phi}\)

o resto são contas... tente avançar...