Dúvida de derivada sistema linear
10 mai 2014, 15:43
Ola, Alguem poderia me ajudar com a resolução dessa questão, Agradeco
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Re: Dúvida de derivada sistema linear
11 mai 2014, 17:24
Podemos estudar como sendo dois sistemas de equações diferenciais de duas variáveis cada um, que são independentes.
Uma é
\(\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\)
e a outra
\(\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} z\\ w \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -k^2 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z\\ w \end{bmatrix}\)
Só temos de estudar as propriedades destes sistemas de equações diferenciais, estudando os valores próprios das matrizes
Na primeira matriz, os valores próprios são \(\lambda_{1,2}=\pm j\) logo todas as soluçoes são oscilatórias. No segundo, são \(\lambda_{1,2}=\pm jk\), logo puramente oscilatória também, a menos que k seja 0. Nesse caso, \(\dot{w}=0\), logo \(w = 1\), e
\(\dot{z}=w=1\), o que implica que \(z=t\), de acordo com as condições iniciais.
Logo, k é todo o número real diferente de zero. Não percebo porque está escrito racional e não real
Uma é
\(\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\)
e a outra
\(\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} z\\ w \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -k^2 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z\\ w \end{bmatrix}\)
Só temos de estudar as propriedades destes sistemas de equações diferenciais, estudando os valores próprios das matrizes
Na primeira matriz, os valores próprios são \(\lambda_{1,2}=\pm j\) logo todas as soluçoes são oscilatórias. No segundo, são \(\lambda_{1,2}=\pm jk\), logo puramente oscilatória também, a menos que k seja 0. Nesse caso, \(\dot{w}=0\), logo \(w = 1\), e
\(\dot{z}=w=1\), o que implica que \(z=t\), de acordo com as condições iniciais.
Logo, k é todo o número real diferente de zero. Não percebo porque está escrito racional e não real