Máximos e Mínimos (derivada Parcial)

[pedrocampelo]

Precisamos construir um reservatório com capacidade de 12000m³ com a forma de um paralelepípedo reto. O custo de fabricação da base e do teto é 120$ por m2 e das laterais é 60$ por m². Determine o custo mínimo para a fabricação deste reservatório.

Obrigado.

[Sobolev]

Considere x,y,z as medidas do paralelepípedo, sendo z a altura. Sabemos que:

1) O custo é dado por \(C(x,y,z) = 120 (2xy) + 60(2xz + 2yz) = 240 xy + 120 xz + 120 yz\)

2) \(xyz = 12 000\)

Substituindo \(z = \frac{12000}{xy}\), devemos minimizar a função

\(C(x,y) = 240 xy + \frac{120}{y}+\frac{120}{x}\)

O único ponto crítico desta função é \((\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \frac{1}{\sqrt[3]{2}})\), o qual pode ver que se trata de um minimizante global ( a função é convexa para x,y >0). Deste modo, teremos que as dimensões são:

\(x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}
y = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}
z = \frac{12000}{xy} = 12000 \sqrt[3]{4}\)