Determine a natureza deste ponto crítico nos casos em que as constantes a, b e c têm o mesmo sinal.

[Caruso]

Esta questão está sendo bem desafiadora pra mim.

Seja \(g(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2\), com a, b e c constantes não nulas. Mostre que (0,0,0) é o único ponto crítico de g. Determine a natureza deste ponto crítico nos casos em que as constantes a, b e c têm o mesmo sinal.

Caruso

[Sobolev]

Mostrar que (0,0,0) é o único ponto crítico corresponde a mostrar que é a única solução do sistema \(\nabla g = 0\). Como as constantes a,b,c são não nulas, esta conclusão é imediata. Quanto à classificação, a matriz Hesseana é

\(H(x,y,z) = \left(\begin{array}{ccc} 2a & 0 &0 \\ 0 & 2b & 0\\0 & 0 & 2c\end{array}\right)\). Os valores próprios desta matriz são 2a, 2b e 2c. Se todas as constantes forem positivas a matriz é definida positiva e (0,0,0) é um minimizante. Se todas as constantes forem negativas a matriz é definida negativa e (0,0,0) é um maximizante.