Encontrar reta tangente ao gráfico de f

[JessicaAraujo]

Olá, podem me ajudar?

Sejam u: R² -> R, g: R -> R e h: R -> R , três funções diferenciáveis. Considere também a função f: R -> R definida por
f(t) = u(g(t),h(t)), onde t pertence R. Supondo que g(0)=2 , h(0)=3, g'(0)=1, h'(0)=2, u(2,3)= -4, Ux(2,3)=2 e Uy(2,3)=1
(essas são as derivadas parciais com relação a x e y).
Encontre a reta tangente ao gráfico de f no ponto P(0,f(0))

[Sobolev]

Tem que usar a regra da função composta...

\(\frac{df}{dt} = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial u}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt} = u_x(g(t),h(t)) g'(t) + u_y(g(t), h(t)) h'(t)\)

em particular,

\(f'(0) = u_x(g(0),h(0))\cdot g'(0) + u_y(g(0),h(0))\cdot h'(0) = u_x(2,3) \cdot \ + u_y(2,3) \cdot \mathrm{2} = \mathrm{2} \times 1 + 1 \times \mathrm{2} = \mathrm{4}.\)

Por outro lado, \(f(0) = u(g(0),h(0)) = u(2,3) = -4\).

Temos agora o declive (4) e um ponto onde passa a recta (0,-4) e podemos obter a sua equação.