Se a função é diferenciável

[hmm...]

Sobre a função:
\(f(x,y)=\frac{y^{4}-x^{5}cos^{3}(x+y)}{x^{2}+y^{2}}\) se \((x,y)\neq (0,0)\)

\(f(x,y)=0\) se \((x,y)=(0,0)\)

Calculei \(\frac{\partial f }{\partial x}(0,0)=0\) e \(\frac{\partial f }{\partial y}(0,0)=0\)

Agora para verificar se f é diferenciável em (0,0) cheguei em: \(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{y^4-x^5cos^3(x+y)}{(x^2+y^2)(x^2+y^2)^{1/2}}\)

Para igualar o limite a zero pensei em dividir o limite em dois e fazer uma parte limitada multiplicada por zero, como segue abaixo:
\(0\leq\left \| y^{3} \right \|\leq(x^2+y^2)^{3/2}\Rightarrow -1\leq \frac{y^{3}}{(x^2+y^2)^{3/2}}\leq1\)

\(0\leq\left \| x^{3} \right \|\leq(x^2+y^2)^{3/2}\Rightarrow -1\leq \frac{x^{3}}{(x^2+y^2)^{3/2}}\leq1\)

Então:
\(=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}y-\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}x^2cos^3(x+y)=0-0=0\)

Não tenho certeza se está certo o procedimento final do limite, está certo?

[Sobolev]

Bom dia,

Está correcto mas deve ser melhor justificado. Na verdade, para avaliar os dois limites que obtém no final usou o facto de o produto de um infinitésimo por uma função limitada ser ainda um infinitésimo.