é só fazer as derivadas parciais de \(z\)
repare que \(z\) é um produto, logo é aplicar a regra da derivada do produto
se \(z=\sqrt{x^2+y^2}.arctg(\frac{y}{x})\), então
\(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\sqrt{x^2+y^2}\right).arctg\left(\frac{y}{x} \right )+\frac{\partial}{\partial x}\left(arctg\left(\frac{y}{x} \right ) \right ).\sqrt{x^2+y^2}=\\ \\=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}.arctg\left(\frac{y}{x} \right )+\frac{-(y/x^2)}{1+\left(\frac{y}{x} \right )^2}.\sqrt{x^2+y^2}=\\ \\=\frac{x.arctg\left(\frac{y}{x} \right )}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{y^2}{x^2+y^2}.\sqrt{x^2+y^2}=\\ \\=\frac{x.arctg\left(\frac{y}{x} \right )-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
faça o mesmo para \(\frac{\partial z}{\partial y}\) e depois tente juntar todas as peças do puzzle
nunca se esqueça que deriva parcialmente, e das regras da derivação
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_derivadas