Cálculo de função implita com várias variávies

[F.Augusto]

Se f(x - az , y - bz) , Calcule \(a.\frac{\partial z}{\partial x}+b.\frac{\partial z}{\partial y}\)


Resp: 1


como fazer esta questão?!


Muito obrigado !

[Sobolev]

Poderia colocar o enunciado completo? Do modo como está não faz sentido...

[F.Augusto]

Poderia colocar o enunciado completo? Do modo como está não faz sentido...

É só isso mesmo, só esqueci, que a função "f" é igualada a zero.

[Sobolev]

Tem que usar o teorema da função implícita com \(F(x,y,z) = f(x-az,y-bz)\). Nesse caso, assumindo que a equação F = 0 permite definir implicitamente z em termos de x e y, temos

\(\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z}\)

Agora, usando a regra da função composta,

\(F'_x = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot 0
F'_y = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot 0 + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot 1
F'_z = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot (-a) + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot (-b)\)

Assim,

\(\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z} = \frac{\frac{\partial f}{\partial u} }{ a \frac{\partial f}{\partial u} + b \frac{\partial f}{\partial v} }
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_x}{F'_z} = \frac{\frac{\partial f}{\partial v} }{ a \frac{\partial f}{\partial u} + b \frac{\partial f}{\partial v} }\)

Pelo que finalmente temos

\(a \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial z}{\partial y} = a \frac{\frac{\partial f}{\partial u} }{ a \frac{\partial f}{\partial u} + b \frac{\partial f}{\partial v} } + b \frac{\frac{\partial f}{\partial v} }{ a \frac{\partial f}{\partial u} + b \frac{\partial f}{\partial v} } = \frac{ a \frac{\partial f}{\partial u} + b \frac{\partial f}{\partial v} }{ a \frac{\partial f}{\partial u} + b \frac{\partial f}{\partial v} } = 1\)