Regra de cadeia para duas variáveis (derivadas parciais)

[rafaelgtmbin]

Oi
No problema "Calcule \(f_{u}(1,-2)\ \ se \ \ f(x,y)=x^{2}y^{2}-x+2y,\ \ x=\sqrt{u},\ \ y=uv^{3}\)"
A resposta a ser encontrada deve ser \(\frac{351}{2}\), mas eu não consigo achar isso. Aqui vai o trace do que eu fiz:
\(f_{x}(x,y)=2xy^{2}-1\)
\(f_{y}(x,y)=2x^{2}y+2\)
\(\frac{dz}{du}=\frac{dz}{dx}\frac{dx}{du}+\frac{dz}{dy}\frac{dy}{du}\)
\(=(2xy^{2}-1)(\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}})+(2x^{2}y+2)(v^{3})\)
\(=(2(\sqrt{u})(uv^{3})^{2}-1)(\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}})+(2(\sqrt{u})^{2}(uv^{3})+2)(v^{3})\)
\(=(2(u^{\frac{1}{2}})(u^{2}v^{6})-1)(\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}})+(2(u)(uv^{3})+2)(v^{3})\)
\(=(2(u^{\frac{5}{2}}v^{6}-1))(\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}})+(2(u^{2}v^{3})+2)(v^{3})\)
\(=u^{2}v^{6}-(\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}})+2u^{2}v^{3}+2v^{3}\)
\(3u^{2}v^{6}-\frac{1}{2\sqrt{u}}+2v^{3}\)

e então substituo (1,-2) em u,v
\((x=\sqrt{u})\rightarrow (1=\sqrt{u})\rightarrow (1^{2}=u)\rightarrow (1=u)\)
\((y=uv^{3})\rightarrow(-2=1v^{3})\rightarrow(\sqrt[3]{-2}=v)\)

substituo na formula
\(3(1)^2(\sqrt[3]{-2})^{6}-\frac{1}{2\sqrt{1}}+2(\sqrt[3]{-2})^{3}\)
\(3(-2)^{2}-\frac{1}{2}+2(-2)\)
\(3*4-\frac{1}{2}-4 = 2\)

Como diabos divergi tanto assim da resposta? '-'

[rafaelgtmbin]

Descobri, pensei que tinha que interpretar o u,v a partir do x,y, mas na verdade só preciso substituir que fecha certinho