Determine a derivada direcional pela funcao z implicita

[Wellington Pinheiro]

Determine a derivada direcional da função z = f(x, y), na direção do vetor (2, 2) e no ponto (0, 1), sendo z definida implicitamente pela equação \(x^3+y^3+z^3+xyz = 0\)
Qual o valor máximo da derivada direcional de z = f(x, y), no ponto (0, 1)?

nao consigo isolar o z na equacao para dai fazer o vetor gradiente me ajudem.

[Sobolev]

Assumindo que\(z=z(x,y)\) é diferenciável, apenas temos de facto que calcular o gradiente no ponto indicado.

1. Se derivarmos a equação em ordem a x, obtemos
\(3x^2 + 3 z'_x z^2 + yz + xy z'_x= 0 \Rightarrow z'_x = -\frac{3x^2+yz}{3z^2+xy}\)
Quando x=0 e y=1, tem-se z=-1, pelo que substituindo temos \(z_x'(0,1) = -\frac{-1}{3} = \frac 13\)

2. Se derivarmos a equação em odem a y, obtemos
\(3y^2 + 3 z'_y z^2 + xz + xy z'_y= 0 \Rightarrow z'_y = -\frac{3y^2+xz}{3z^2+xy}\)
Novamente, quando x=0 e y=1, tem-se z=-1, pelo que substituindo temos \(z_y'(0,1) = -\frac{3}{3} = 1\)

Já temos então o gradiente...