Mostrar que a função é diferencial na origem
20 ago 2014, 19:21
Boa tarde!!
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Re: Mostrar que a função é diferencial na origem [resolvida]
21 ago 2014, 02:20
Olá :D
Como o exercício disse temos que usar : \(\lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0})} \; \frac{f(x+x_{0},y+y_{0})-f(x_{0},y_{0})-ax-by}{\sqrt{x^2+y^2}}\) , onde \(a=\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}\) e \(b=\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}\).
logo :
\(a=\lim_{x \to 0 } \; \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\frac{0-0}{x}=0\)
\(b=\lim_{y \to 0 } \; \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\frac{0-0}{y}=0\)
Então :
\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \; \frac{\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}-0-0*x-0*y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \; \frac{\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \; \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\)
Use coordenadas polares :
\(\\\\x=rcos\theta \\\\ y=rsen\theta \\\\ x^2+y^2=r^2\)
\(\lim_{r \to 0^{+}} \; \frac{r^4*cos^{2}\theta*sen^{2} \theta}{r^3}=0\)
Ou ainda utilize a definição.Logo como o valor do limite é zero temos que a função é sim diferenciavél em (0,0).
Como o exercício disse temos que usar : \(\lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0})} \; \frac{f(x+x_{0},y+y_{0})-f(x_{0},y_{0})-ax-by}{\sqrt{x^2+y^2}}\) , onde \(a=\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}\) e \(b=\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}\).
logo :
\(a=\lim_{x \to 0 } \; \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\frac{0-0}{x}=0\)
\(b=\lim_{y \to 0 } \; \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\frac{0-0}{y}=0\)
Então :
\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \; \frac{\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}-0-0*x-0*y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \; \frac{\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \; \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\)
Use coordenadas polares :
\(\\\\x=rcos\theta \\\\ y=rsen\theta \\\\ x^2+y^2=r^2\)
\(\lim_{r \to 0^{+}} \; \frac{r^4*cos^{2}\theta*sen^{2} \theta}{r^3}=0\)
Ou ainda utilize a definição.Logo como o valor do limite é zero temos que a função é sim diferenciavél em (0,0).