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f(x,y,z) e g(x,y) são funções diferenciáveis tais que ,para todo (x,y) no domínio de g,f(x,y,g(x,y))=0.Suponha g(1,1)=3,derivadaparcialf/x(1,1,3)=2,derivadaparcialf/y(1,1,3)=5 e derivadaparcialf/z(1,1,3)= 10 . Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto(1,1,3) .


não consigo resolver porque g é função de duas variáveis e o ponto pedido tem três coordenadas ,pensei então na f(1,1,g(1,1)) mas não consegui derivar f.

Sugestão:
O gráfico de g(x,y) numa vizinhança de (x,y)=(1,1) coincide com a superfície de nível de valor 0 de f, N={(x,y,z): f(x,y,z)=0}, numa vizinhança do ponto (x,y,z)=(1,1,3). É sabido que o gradiente de uma função diferenciável num dado ponto é perpendicular ao conjunto de nível da função nesse ponto. Assim sendo o plano tangente ao gráfico de g no ponto (1,1) é o plano perpendicular ao vetor gradiente (2,5,10) que passa no ponto (1,1,3).
Consegue continuar?

PS: claro que também dá para fazer com a regra da cadeia aplicada à função constante f(x,y,g(x,y))=0:
\(\frac{\partial}{\partial x}f(x,y,g(x,y)) = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) \frac{\partial x}{\partial x} +\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) \frac{\partial y}{\partial x} +\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = 0 \Rightarrow \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) =-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,g(x,y))}{\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,g(x,y))}\) e o mesmo raciocínio para a variável y.

obrigada!