Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Para um mol de um gás real, as grandezas: pressão, volume e temperatura, relacionam-se através da equação \(\left ( P + a/V^2 \right ) \left ( V-b\right ) = RT\)
a,b e R são constantes.
Calcule \(\frac{\partial P }{\partial V} (T_{o},V_{o})\)

\(T_{o} = 8a/27bR\)
\(V_{o} = 3b\)


Tenho chegado a: \(RT (V-b)^{-1} - aV^{2}\)
Mas tenho me confundindo na hora de trabalhar com as variáveis. Agradeço desde já.

A questão está pedindo para você obter a função que representa a variação da pressão do gás com relação ao volume (uma derivada) e verificar o que ocorre nessa função em \(T_o\) e \(V_o\).

Além disso, verifique se você mandou o \(T_o\) correto, pois \(8a / 27bR = \frac{8abR}{27}\).
Não seria 8a / (27bR)?


Resolução

Obtemos a função pressão através de transformações algébricas da primeira equação:

\(\left ( P + \frac{a}{V^2} \right ) (V-b) = RT\)
\(P + \frac{a}{V^2} = \frac{RT}{V-b}\)
\(P = \frac{RT}{V-b} - \frac{a}{V^2}\)

Realizando a derivação de \(P\) em relação a \(V\):

\(\frac{\partial P}{\partial V} = \frac{\partial \left ( \frac{RT}{V-b} \right ) }{\partial V} - \frac{\partial \left ( \frac{a}{V^2} \right ) }{\partial V}\) (regra da soma)

\(= - \frac{RT}{(V-b)^2} + \frac{2a}{V^3}\) (derivação com regra da divisão)

Com isso é possível obter o resultado para \(T_o\) e \(V_o\):

\(\frac{\partial P}{\partial V}(T_o, V_o) = - \frac{RT_o}{(V_o-b)^2} + \frac{2a}{V_o^3} = - \frac{R \cdot 8abR}{(3b-b)^2 27} + \frac{2a}{(3b)^3} = - \frac{2abR^2}{27 b^2} + \frac{2a}{9b^3} = - \frac{2aR^2}{27 b} + \frac{2a}{9b^3}\)

Obrigada. Mais uma coisa. Acho que mandei errado o T zero. O correto é 8a / (27bR) como você mesmo observou. Colocando esse T zero = 8a / (27bR). Eu obtive \(\frac{R8a4b}{27bR} + \frac{2a}{9b^{3}}\)
Você fez a resolução com o T zero = 8abR / 27 né? Desculpe pela confusão