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Piramide inscrita em esfera - Otimização calculo 2 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=9&t=10616 |
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Autor: | teguinho [ 11 mar 2016, 15:21 ] |
Título da Pergunta: | Piramide inscrita em esfera - Otimização calculo 2 |
Bom dia, se alguem puder ajudar, sou grato! Qual volume da piramide de base retangular e volume maximo, que pode ser colocada dentro da esfera de raio 2? |
Autor: | astolfo [ 12 mar 2016, 18:57 ] |
Título da Pergunta: | Re: Piramide inscrita em esfera - Otimização calculo 2 |
Jailton ferrando a turma :/ Tb to precisando |
Autor: | Baltuilhe [ 12 mar 2016, 20:56 ] |
Título da Pergunta: | Re: Piramide inscrita em esfera - Otimização calculo 2 |
Boa tarde! Seja um quadrado de diagonais D inscrito na esfera cuja distância ao centro seja x. Então: \(R^2=x^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2 2^2=x^2+\frac{D^2}{4} 4-x^2=\frac{D^2}{4} D^2=4\left(4-x^2\right) D=2\sqrt{4-x^2}\) Agora calculando o volume (lembrando que um quadrado é um losango e a área do losango é o semi-produto de suas diagonais): \(V=\frac{A_b\cdot{h}}{3} V=\frac{\frac{D^2}{2}\cdot(x+R)}{3} V=\frac{\frac{4\left(4-x^2\right)}{2}\cdot(x+2)}{3} V=\frac{2(2+x)(2-x)(2+x)}{3} V=\frac{2}{3}(2-x)(2+x)^2\) Para obtermos o volume Máximo (ou mínimo) precisamos derivar: \(\frac{dV}{dx}{=}\frac{2}{3}\left[-1(2+x)^2+(2-x)2(x+2)(1)\right] \frac{dV}{dx}{=}\frac{2}{3}\left[-1(4+4x+x^2)+2(4-x^2)\right] \frac{dV}{dx}{=}\frac{2}{3}\left[-4-4x-x^2+8-2x^2\right] -3x^2-4x+4{=}0 3x^2+4x-4{=}0 \Delta{=}(4)^2-4(3)(-4)=16+48=64 x{=}\frac{-(4)\pm\sqrt{64}}{2(3)} x{=}\frac{-4\pm{\sqrt{64}}}{6} x{=}\frac{-4\pm{8}}{6} x'{=}\frac{-4+8}{6}=\frac{2}{3} x''{=}\frac{-4-8}{6}=-2\) Então, o valor de x é \(\frac{2}{3}\) e representa um ponto de máximo (analisando o sinal da derivada primeira) Calculando o volume, portanto: \(V=\frac{2}{3}(2-x)(2+x)^2 V=\frac{2}{3}\left(2-\frac{2}{3}\right)\left(2+\frac{2}{3}\right)^2 V=\frac{2}{3}\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{8}{3}\right)^2 V=\frac{2}{3}\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{64}{9}\right) V=\frac{2}{3}\cdot\frac{2^2}{3}\cdot\frac{2^6}{3^2} V=\frac{2^9}{3^4}\) Espero ter ajudado! |
Autor: | teguinho [ 13 mar 2016, 00:38 ] |
Título da Pergunta: | Re: Piramide inscrita em esfera - Otimização calculo 2 |
astolfo Escreveu: Jailton ferrando a turma :/ Tb to precisando Pois é né, ta fod@ =/ Baltuilhe Escreveu: Boa tarde! Seja um quadrado de diagonais D inscrito na esfera cuja distância ao centro seja x. Então: \(R^2=x^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2 2^2=x^2+\frac{D^2}{4} 4-x^2=\frac{D^2}{4} D^2=4\left(4-x^2\right) D=2\sqrt{4-x^2}\) Agora calculando o volume (lembrando que um quadrado é um losango e a área do losango é o semi-produto de suas diagonais): \(V=\frac{A_b\cdot{h}}{3} V=\frac{\frac{D^2}{2}\cdot(x+R)}{3} V=\frac{\frac{4\left(4-x^2\right)}{2}\cdot(x+2)}{3} V=\frac{2(2+x)(2-x)(2+x)}{3} V=\frac{2}{3}(2-x)(2+x)^2\) Para obtermos o volume Máximo (ou mínimo) precisamos derivar: \(\frac{dV}{dx}{=}\frac{2}{3}\left[-1(2+x)^2+(2-x)2(x+2)(1)\right] \frac{dV}{dx}{=}\frac{2}{3}\left[-1(4+2x+x^2)+2(4-x^2)\right] \frac{dV}{dx}{=}\frac{2}{3}\left[-4-2x-x^2+8-2x^2\right] -3x^2-2x+4{=}0 3x^2+2x-4{=}0 \Delta{=}(2)^2-4(3)(-4)=4+48=52=4\cdot{13} x{=}\frac{-(2)\pm\sqrt{52}}{2(3)} x{=}\frac{-2\pm{\sqrt{4\cdot{13}}}}{6} x{=}\frac{-2\pm{2\sqrt{13}}}{6} x'{=}\frac{-1+\sqrt{13}}{3} x''{=}\frac{-1-\sqrt{13}}{3}\) Então, o valor de x é \(\frac{-1+\sqrt{13}}{3}\) e representa um ponto de máximo (analisando o sinal da derivada primeira) Calculando o volume, portanto: \(V=\frac{2}{3}(2-x)(2+x)^2 V=\frac{2}{3}\left(2-\frac{-1+\sqrt{13}}{3}\right)\left(2+\frac{-1+\sqrt{13}}{3}\right)^2 V=\frac{2}{3}\left(\frac{7-\sqrt{13}}{3}\right)\left(\frac{5+\sqrt{13}}{3}\right)^2 V=\frac{2}{3}\left(\frac{7-\sqrt{13}}{3}\right)\left(\frac{25+10\sqrt{13}+13}{9}\right) V=\frac{2}{3}\left(\frac{7-\sqrt{13}}{3}\right)\left(\frac{38+10\sqrt{13}}{9}\right) V=\frac{2}{3}\left(\frac{266+70\sqrt{13}-38\sqrt{13}-130}{27}\right) V=\frac{272+64\sqrt{13}}{81}\) Espero ter ajudado! Eu não tenho a resposta exata, mas as alternativas para a questão é : a) 2^6/3^4 b)2^9/3^6 c)2^9/3^4 d)2^4/3^9 e)(2/3)^4 |
Autor: | Baltuilhe [ 13 mar 2016, 02:56 ] |
Título da Pergunta: | Re: Piramide inscrita em esfera - Otimização calculo 2 |
Boa noite!!! Encontrei o ERRO que cometi! Vou corrigir e deixar a resposta correta! Obrigado! |
Autor: | astolfo [ 13 mar 2016, 02:57 ] |
Título da Pergunta: | Re: Piramide inscrita em esfera - Otimização calculo 2 |
Bate com a letra C (mais ou menos). Porem a gente ta estudando maximos e minimos absolutos e o teorema de Lagrange... não sei se teria q usar isso |
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