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Confrades, como estão?

Gostaria de solicitar assistência na resolução desta questão:



Estou perdido quanto à resolução. Já fiz alguns rabiscos mas não sei quais ferramentas utilizar.

Agradeço aos companheiros!

Alguma alma caridosa pode me ajudar?

Dica : Para cada parâmetro \(c\) "congelado" , por compor f com a curva suave
\(\alpha_c : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2\) dada por \(\alpha_c(y)=(c+2t,t)\) obtêm uma função \(f \circ \alpha_c : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) diferenciavel em toda reta (pq ?) . A imagem de alpha_c é exatamente a reta \(x- 2y = c\) .Portanto f é cte sobre tal reta se e somente se a função\(f \circ \alpha_c\) é cte ,que em virtude de admitir derivadas em todos os pontos , se e somente se \((f \circ \alpha_c)'(t) = 0 , \forall t\) . Tente concluir .