Derivação de função composta F(g(x)):

[hollan]

Considere a função \(F(x,y)=x^2+y^2\) e a curva \(g(t)=(t,t^2)\). Calcule a derivada da composição de F com g para t=1, isto é,

\(\frac{d (F o g)(t)}{dt}\)

Avaliado em t=1, vale quanto?

[Sobolev]

Ou calcula diretamente ou usa a regra da cadeia:

Alternativa 1:

\((F\circ g)(t)= F(t,t^2) = t^2+ t^4 \qquad \Rightarrow (F\circ g)'(t) = 2t + 4t^3\)

Assim, \((F\circ g)'(1)= 6\)


Alternativa 2:

\(\frac{d(F\circ g)}{dt}(t) = \frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}= 2x \cdot 1 + 2y \cdot 2t = 2 (t)\cdot 1 + 2(t^2)\cdot (2t) =2t + 4t^3\)

seguindo-se a mesma conclusão.