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Pode-se mostrar, por meio da direção de maior crescimento da função f(x, y), que é a de seu gradiente, que a função v(t) = (x(t), y(t)), solução da equação diferencial acima, descreve uma curva que se aproxima do ponto onde f(x, y) possui máximo, quando t for muito grande. Use um método numérico para aproximar v(1), com h = 0.0001. Qual o valor de f e do gradiente de f nesse ponto?

O método mais simples para resolver o sistema de EDOs que refere será possivelmente o método de Euler... Este método permite obter sucessões \(x_1, x_2, x_3, \cdots\) e \(y_1, y_2, \cdots\) que correspondem a aproximações de \(x(t)\) e \(y(t)\) nos pontos \(t_0=0, t_1 = h,t_2= 2h, t_3= 3h, \cdots\). A sucessão é definida recursivamente por

\(\left\{\begin{array}{l}
x_0 = 2, y_0=1,\\
x_n = x_{n-1} + h \frac{\partial f}{\partial x}(x_{n-1}, y_{n-1}), n \ge 0\\
y_n = y_{n-1} + h \frac{\partial f}{\partial y}(x_{n-1}, y_{n-1}), n \ge 0
\end{array}\)