Determinar equação da reta tangente e uma curva que surge da interseção de uma superficie com um plano

[matdescomp]

Considere a Supefície z = 2x²+y².
a) O plano y = 3 intercepta a superfície em uma curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em x = 2.
b) O plano x = 2 intercepta a superfície em uma curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em y = 3.

[Rui Carpentier]

Sugestão: O plano tangente à superfície \(z = 2x^2+y^2\) no ponto (x,y,z)=(2,3,17) é dado pela equação \(\frac{\partial f}{\partial x}(2,3,17)(x-2)+\frac{\partial f}{\partial y}(2,3,17)(y-3)+\frac{\partial f}{\partial z}(2,3,17)(z-17)=0\) onde \(f(x,y,z)=z-2x^2-y^2\) (isto deve-se ao facto de o gradiente de uma função escalar num dado ponto ser perpendicular ao conjunto de nível da função que passa por esse ponto). As retas tangentes às curvas de interseção com os planos x=2 e y=3 vão ser as retas obtidas por interseção desses planos com o plano tangente já calculado. Consegue completar os passos?

[matdescomp]

Não consegui entender por que o plano tangente toma esta forma

[Rui Carpentier]

Não consegui entender por que o plano tangente toma esta forma

Tem razão, o plano que apresentei não estava centrado no ponto pretendido (2,3,17). Já editei a resposta anterior de modo a corrigir esse erro. Outra forma de chegar ao mesmo resultado, quiçá mais fácil, seria observar que a superfície \(z = 2x^2+y^2\) é o gráfico da função \(g(x,y) = 2x^2+y^2\), e portanto, a equação do plano tangente no ponto \((x,y,g(x,y))=(2,3,17)\) é \(z=g(2,3)+\frac{\partial g}{\partial x}(2,3)(x-2)+\frac{\partial g}{\partial y}(2,3)(y-3)\).

[matdescomp]

Daqui acho que consigo, obrigado