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| Determinar a função comprimento de arco e calcular o comprimento https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=9&t=14253 |
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| Autor: | BossMvP [ 10 dez 2019, 16:20 ] |
| Título da Pergunta: | Determinar a função comprimento de arco e calcular o comprimento |
Determine a função comprimento de arco e calcule o comprimento de arco para o intervalo indicado: \(\alpha\left ( t \right )=\left (3\cos\left ( t \right ),\;3\sin\left ( t \right ),\;4t \right ),\;t\in\left [ 0,\pi \right ]\) |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 11 dez 2019, 14:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar a função comprimento de arco e calcular o comprimento [resolvida] |
Sabemos que o comprimento do arco é dado por \(L = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{\left ( \frac{dx(t)}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dy(t)}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dz(t)}{dt} \right )^2}dt\) \(L = \int_{a}^{b} || \vec{r}\prime (t)||dt\) Logo, para o seu caso, considerando que \(\frac{d\sin(x)}{dx}=\cos(x)\) e que \(\frac{d\cos(x)}{dx}=-\sin(x)\), ficamos com \(L = \int\limits_{0}^{\pi} \sqrt{\left ( -3\sin(t) \right )^2 + \left ( 3\cos(t) \right )^2 + 4^2}dt\) \(L = \int\limits_{0}^{\pi} \sqrt{9\left ( \sin^2(t) + \cos^2(t) \right ) + 4^2}dt\) Lembre-se que \(\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1\) Logo, resulta \(L = \int\limits_{0}^{\pi} \sqrt{9 + 16}dt=\int\limits_{0}^{\pi} 5 dt=5 \int\limits_{0}^{\pi} 1 dt = 5\pi\) |
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