Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Uma haste presa na origem do plano xy, ocupa a posição da reta x=ty. A haste intercepta a reta y=4 no ponto S e a elipse 4x²+(y-2)²=4 no ponto Q. Quando t varia, o vértice P do triângulo retângulo QPS descreve uma curva.

a) Escreva equações paramétricas dessa curva, em função do parâmetro t.

Bom, não obtive sucesso nessa questão.
Minha resposta não bate com o gabarito do livro.

Fiz o seguinte:
Se \(y=4\) e \(x=yt\), então \(x(t)=4t\).

E se a equação da elipse é definida por:
\(4x^2+(y-2)^2=4\Rightarrow x^2+\frac{(y-2)^2}{4}=1\Rightarrow y^2t^2+\frac{y^2-4y+4}{4}=1
\Rightarrow 4y^2t^2 + y^2- 4y +4 = 4 \Rightarrow 4y^2t^2 + y^2- 4y=0\Rightarrow y =\frac{x}{t}
\Rightarrow \frac{x^2}{t^2} + 4x^2 - 4\frac{x}{t}=0 \Rightarrow x\left(\frac{x}{t^2} + 4x - \frac{4}{t} \right)=0
\Rightarrow \frac{x}{t^2} + 4x - \frac{4}{t}=0 \Rightarrow x\left(4+\frac{1}{t^2} \right)=\frac{4}{t}
\Rightarrow x= \frac{4}{t}\ \times \frac{1}{\left 4t^2+1 \right} \Rightarrow y =\frac{4}{1+4t^2}\)

Porém, no gabarito a equação paramétrica da curva é \(4t, \frac{4}{4t^2 + 4}\)

Gostaria de uma ajuda para saber onde errei no desenvolvimento do exercício.
Obrigada.

Estive a fazer o exercício e a mim dá-me exactamente a mesma coisa, \(4t, \frac{4}{4t^2+1}\). Depois estive a ver a resolução e parece-me bem.
Se calhar as soluções é que estão erradas...tenta confirmar com outros colegas que tenham feito esse exercício.

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Marco Tavares Pereira
Tudo é trivial, para alguém.
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