Coloque aqui tudo o que quer saber sobre derivadas parciais, funções homogéneas, identidade de Euler, continuidade em funções de |R^2 e diferenciabilidade do mesmo género de funções.
11 jun 2012, 23:01
Resolver:
A equação do plano tangente ao gráfico de f(x,y) = 2x^3 + 3x^2 y^3 - y^3 no ponto (2, -1, 5) é:
13 jun 2012, 18:36
Boas
Primeiro terá de calcular as derivadas direcionais nesse ponto
\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=6x^2+6xy^3\\\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=9x^2y^2-3y^2\)
Temos de calcular agora para os pontos em questão
\(\frac{\partial f(2,-1)}{\partial x}=24-12=12\)
\(\frac{\partial f(2,-1)}{\partial y}=36-3=33\)
Repare que calculámos as derivadas direcionais.
Significa que nesse ponto se avançamos 1 valor em x subimos 12 em z
Significa também que se avançamos 1 valor em y subimos 33 em z
Ora então, dois vetores tangentes ao gráfico nesse ponto podem ser
\(v_x=(1,0,12)\)
\(v_y=(0,1,33)\)
Para achar a equação do plano temos de arranjar o vetor perpendicular ao plano.
Ora o vetor perpendicular ao plano pode ser obtido através do produto externo dos dois vetores referidos atrás. Lembre-se que pela definição de produto externo, o resultado do produto é sempre perpendicular simultaneamente aos dois vetores do produto.
Assim
\(v_x\times v_y=\det \begin{bmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 0 & 12 \\
0 & 1 & 33 \\
\end{bmatrix}\)
13 jun 2012, 19:07
Continuando
\(v_x \times v_y = \mathbf{i}(-12)-\mathbf{j}(33)+\mathbf{j}(1)\)
\(v_x \times v_y =(-12,-33,1)\)
Uma equação de um plano é da forma
\(ax+by+cz=d\)
onde \(N(a,b,c)\) é um vetor perpendicular ao plano
Assim a equação do nosso plano é da forma
\(-12x-33y+z=d\)
Para achar o \(d\) basta usar o ponto do enunciado \((2, -1, 5)\)
\(-12.2+33+5=d\)
\(d=38-24=14\)
Assim a equação da reta será
\(-12x-33y+z=14\)
Não sei se as contas estão totalmente corretas, mas o raciocínio é este
Cumprimentos
Powered by phpBB © phpBB Group.
phpBB Mobile / SEO by Artodia.