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| equação do plano tangente ao gráfico de f(x,y)=2x³+3x²-y³ https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=9&t=459 |
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| Autor: | pastorpj [ 11 jun 2012, 23:01 ] |
| Título da Pergunta: | equação do plano tangente ao gráfico de f(x,y)=2x³+3x²-y³ |
Resolver: A equação do plano tangente ao gráfico de f(x,y) = 2x^3 + 3x^2 y^3 - y^3 no ponto (2, -1, 5) é: |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 13 jun 2012, 18:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Derivada |
Boas Primeiro terá de calcular as derivadas direcionais nesse ponto \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=6x^2+6xy^3\\\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=9x^2y^2-3y^2\) Temos de calcular agora para os pontos em questão \(\frac{\partial f(2,-1)}{\partial x}=24-12=12\) \(\frac{\partial f(2,-1)}{\partial y}=36-3=33\) Repare que calculámos as derivadas direcionais. Significa que nesse ponto se avançamos 1 valor em x subimos 12 em z Significa também que se avançamos 1 valor em y subimos 33 em z Ora então, dois vetores tangentes ao gráfico nesse ponto podem ser \(v_x=(1,0,12)\) \(v_y=(0,1,33)\) Para achar a equação do plano temos de arranjar o vetor perpendicular ao plano. Ora o vetor perpendicular ao plano pode ser obtido através do produto externo dos dois vetores referidos atrás. Lembre-se que pela definição de produto externo, o resultado do produto é sempre perpendicular simultaneamente aos dois vetores do produto. Assim \(v_x\times v_y=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 33 \\ \end{bmatrix}\) |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 13 jun 2012, 19:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equação do plano tangente ao gráfico de f(x,y)=2x^3+3x^2 |
Continuando \(v_x \times v_y = \mathbf{i}(-12)-\mathbf{j}(33)+\mathbf{j}(1)\) \(v_x \times v_y =(-12,-33,1)\) Uma equação de um plano é da forma \(ax+by+cz=d\) onde \(N(a,b,c)\) é um vetor perpendicular ao plano Assim a equação do nosso plano é da forma \(-12x-33y+z=d\) Para achar o \(d\) basta usar o ponto do enunciado \((2, -1, 5)\) \(-12.2+33+5=d\) \(d=38-24=14\) Assim a equação da reta será \(-12x-33y+z=14\) Não sei se as contas estão totalmente corretas, mas o raciocínio é este Cumprimentos |
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