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| função diferencial https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=9&t=562 |
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| Autor: | Claudete [ 04 jul 2012, 02:12 ] |
| Título da Pergunta: | função diferencial |
O ponto crítico (0,0) da função f(x,y) = 4x^2 -2xy +y^2 ? calcule f_(xx) (0,0)*f_(y,x) (0,0) - [f_xy (0,0)]^2 |
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| Autor: | josesousa [ 04 jul 2012, 12:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: função diferencial |
Pode reformular a questão? |
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| Autor: | Claudete [ 04 jul 2012, 16:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: função diferencial |
Considerando a função f(x,y)=4x^2 - 2xy +y^2 , o ponto crítico (0,0) é? Sugestão calcule f(x,x)(0,0) * f(y,x)(0,0) - [f(x,y)(0,0)]^2 Opções: a)máximo relativo. b)mínimo relativo. c)nada se conclui. d)máximo absoluto. e)ponto de sela. |
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| Autor: | josesousa [ 04 jul 2012, 17:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: função diferencial |
OK! Em primeiro lugar, é óbvio que (0,0) é ponto crítico. Para avaliar esse ponto, calculamos a matriz Hessiana \(H(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}\) Repare que det(H(0,0)) é exactamente a expressão que pede para avaliar. E é esse valor que nos dirá mais sobre esse ponto crítico. \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 8 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2\) Logo, \(det {H(0,0)} = 8.2-2^2 = 16-4 = 12 >0\) Ora se \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}>0\) e \(det {H(0,0)} >0\), H é positiva definida (todos os valores próprios são positivos) e esse ponto crítico é um mínimo relativo. Será um mínimo absoluto? Vamos ver quantos pontos críticos há. \(\partial f /\partial x = 0 => 8x-2y=0=>y=4x\) \(\partial f /\partial y = 0 => -2x+2y=0=>y=x\) Ora y=-4x e y=x só têm em comum o ponto (0,0) Logo, só existe um ponto crítico, que é um mínimo local. Mas como é único ponto crítico, é mínimo absoluto também. |
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| Autor: | Claudete [ 04 jul 2012, 22:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: função diferencial |
Demais, obrigada. |
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