Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

A base de um aquário com volume V e feita de ardosia e os lados são de vidro. Se o preço da ardosia (por unidade de área) equivale a 5 vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material. (nao tem tampa, base feita de ardosia, ficar em funcao do volume.)

Trata-se de minimizar a função \(C(x,y,z) = 5 x y + (xy + 2 yz + 2xz) = 6xy + 2yz +2 xz\), sujeita à restrição \(xyz = V\). Podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange ou, uma vez que \(z = \frac{v}{xy}\), proceder à minimização livre da função \(C(x,y)= 6xy + \frac{2V}{x} + \frac{2V}{y}\). Tratando-se de uma função dioferenciável no conjunto aberto \(\Omega=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x>0, y>0\}\), o eventual mínimizante global será um ponto crítico de função. Ora, os pontos críticos são as solução do sistema \(\nabla C(x,y)=(0,0)\)... Consegue prosseguir?

Não consigo continuar, estou com dificuldade nessa matéria, tenho que substituir os pontos críticos na formula do custo? (mas vai zerar tudo.)

O sistema tem um único ponto crítico no conjunto que referi ( que é o ponto onde se anulam ambas as derivadas parciais), que é o ponto \(\left(\sqrt[3]{\frac{V}{3}}, \sqrt[3]{\frac{V}{3}} \right)\). Analisando a matriz Hesseana, conclui que se trata de um minimizante global. Conhecidos x,y determina \(z = \sqrt[3]{9 V}\).

Valeu colega, consiga fazer o trabalho e entreguei agora e so esperar.
obrigado.