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| max e min duas variaveis https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=9&t=5930 |
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| Autor: | Leandro Costa [ 02 mai 2014, 03:26 ] |
| Título da Pergunta: | max e min duas variaveis |
A base de um aquário com volume V e feita de ardosia e os lados são de vidro. Se o preço da ardosia (por unidade de área) equivale a 5 vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material. (nao tem tampa, base feita de ardosia, ficar em funcao do volume.) |
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| Autor: | Sobolev [ 02 mai 2014, 08:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: max e min duas variaveis |
Trata-se de minimizar a função \(C(x,y,z) = 5 x y + (xy + 2 yz + 2xz) = 6xy + 2yz +2 xz\), sujeita à restrição \(xyz = V\). Podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange ou, uma vez que \(z = \frac{v}{xy}\), proceder à minimização livre da função \(C(x,y)= 6xy + \frac{2V}{x} + \frac{2V}{y}\). Tratando-se de uma função dioferenciável no conjunto aberto \(\Omega=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x>0, y>0\}\), o eventual mínimizante global será um ponto crítico de função. Ora, os pontos críticos são as solução do sistema \(\nabla C(x,y)=(0,0)\)... Consegue prosseguir? |
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| Autor: | Leandro Costa [ 02 mai 2014, 23:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: max e min duas variaveis |
Não consigo continuar, estou com dificuldade nessa matéria, tenho que substituir os pontos críticos na formula do custo? (mas vai zerar tudo.) |
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| Autor: | Sobolev [ 05 mai 2014, 11:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: max e min duas variaveis |
O sistema tem um único ponto crítico no conjunto que referi ( que é o ponto onde se anulam ambas as derivadas parciais), que é o ponto \(\left(\sqrt[3]{\frac{V}{3}}, \sqrt[3]{\frac{V}{3}} \right)\). Analisando a matriz Hesseana, conclui que se trata de um minimizante global. Conhecidos x,y determina \(z = \sqrt[3]{9 V}\). |
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| Autor: | Leandro Costa [ 07 mai 2014, 02:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: max e min duas variaveis |
Valeu colega, consiga fazer o trabalho e entreguei agora e so esperar. obrigado. |
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