Fórum de Matemática
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Preciso de auxílio para resolver essa questão.

Olá :D


Verificando que é continua em (0,0) :


\(\lim_{(x,y) \to (0,0) } \; \frac{x^3}{x^2+y^2}\)


\(\lim_{(x,y) \to (0,0) } \; x \times \frac{x^2}{x^2+y^2}\)


como \(\frac{x^2}{x^2+y^2}\) é uma função limitada e \(\lim_{(x,y) \to (0,0) } \; x\) é zero, temos que pelo teorema da função limitada este limite é zero, e como a função aplicada em (0,0) é zero ,então temos a igualdade e consequentemente a função é contínua em (0,0).




Veja que : \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{x^4+3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}\) e \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=-\frac{2x^3y}{(x^2+y^2)^2}\) existem para qualquer \((x,y) \neq (0,0)\) faltando verificar o ponto (0,0) então:


\(\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\lim_{x \to 0} \; \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \; \frac{x}{x}=1\)


\(\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=\lim_{y \to 0} \; \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\lim_{x \to 0} \; \frac{0-0}{y}=0\)

Logo confirmamos que existe derivada parcial em todo ponto.



Para decidir sobre a diferenciabilidade devemos usar \(\lim_{ (h,k) \to (x_{0},y_{0})} \; \frac{f(h+x_{0},k+y_{0})-f(x_{0},y_{0})-ah-bk}{\sqrt{h^2+k^2}}\) onde \(a=\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}\) e \(b=\frac{\partial f(x_{0},x_{0})}{\partial y}\) , a função será diferenciavél se e somente se o resultado do limite for zero ,caso não seja a função não é diferenciavél no ponto em questão,e como \((x_{0},y_{0})=(0,0)\) temos :



\(\lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{f(h,k)-f(0,0)-ah-bk}{\sqrt{h^2+k^2}}\)



\(\lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{\frac{h^3}{h^2+k^2}-h}{\sqrt{h^2+k^2}}\)



\(\lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{\frac{-hk^2}{h^2+k^2}}{\sqrt{h^2+k^2}}\)


\(\lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; -\frac{hk^2}{(h^2+k^2)^{\frac{3}{2}} }\)



Esse limite não existe, veja que pela regra dos caminhos :


por (h,0) :


\(\lim_{h \to 0} \; -\frac{h*0^2}{(h^2+0^2)^{\frac{3}{2}}}=0\)


por (h,h) :


\(\lim_{h \to 0} \; -\frac{h^3}{(2h^2)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\)


logo como obtivemos valores diferentes o limite não existe e consequentemente a função não é diferenciável em (0,0).