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| Determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimos locais, ou como pontos de sela. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=9&t=7058 |
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| Autor: | Nil [ 09 Oct 2014, 00:39 ] |
| Título da Pergunta: | Determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimos locais, ou como pontos de sela. |
Dada a função \(f(x,y)=4xy-2x^4-y^2\). Determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimos locais, ou como pontos de sela, quando for o caso. Preciso de auxílio urgente. Não nem por onde começar. |
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| Autor: | Sobolev [ 09 Oct 2014, 09:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimos locais, ou como pontos de sela. |
Como a função é diferenciável e o domínio de definição é aberto, os máximos ou mínimos locais apenas podem ocorrer em pontos estacionário (pontos onde todas as derivadas parciais se anulam). Devemos então começar por aí: calcular os pontos estacionários, que serão os canditatos a maximizantes/minimizantes. \(\nabla f = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 4y-8x^3= 0 \\ 4x-2y = 0\end{array} \right.\) Da segunda equação retira y=2x, substituindo na primeira fica com \(8x -8x^3=0 \Leftrightarrow 8x(1-x^2) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x= 1 \vee x=-1\) Assim, os candidatos a extremante são: (0,0); (1,2); (-1,-2) Para classificar estes pontos críticos podemos começar por tentar usar a matriz Hessiana \(H(x,y)=\left(\begin{array}{cc} -24x^2 & 4 \\ \\4 & -2 \end{array}\right)\) Quando x=-1,1 a matriz é definida negativa, pelo que (1,2) e (-1,-2) são maximizantes locais. Quando x=0 a matriz é indefinida, pelo que (0,0) é ponto se sela. |
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