Determine os pontos de máximo e de mínimo da função

[Niko]

Determine os pontos de máximo e de mínimo da função \(f(x,y)=x^2+4y^2\) no conjunto \(A=\left \{ (x,y)\epsilon \mathbb{R}^{2}/x+4y=8 \right \}\).

[Sobolev]

Apesar de provavelmente a ideia do exercício fosse usar multiplicadores de lagrange, neste caso não é necessário, na medida em que a restrição permite eliminar uma variável... Como no conjunto A se tem y=2-x/4, a função objectivo passa a ser simplesmente \(f(x)=x^2 + 4(2-x/4)^2\). O vértice desta parábola (x=1/4) constituirá um minimizante absoluto para o problema.

[Niko]

Desculpe, Sobolev.

Não entendi muito bem.

Pode detalhar um pouco mais?

[Niko]

Sobolev,
Eu desenvolvi meus cálculos da seguinte forma:

\(R(x,y)=0\)
\(R(x,y)=x+4y-8=0\)
\(L(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda R(x,y)\)
\(L(x,y,\lambda )= x^2+4y-\lambda (x+4y-8)\)
\(\frac{\partial L}{\partial x}=2x-\lambda\)
\(2x-\lambda =0\)
\(2x=\lambda\)
\(x=\frac{\lambda }{2}\)

\(\frac{\partial L}{\partial y}=8y-4\lambda\)
\(8y-4\lambda =0\)
\(8y=4\lambda\)
\(y=\frac{\lambda }{2}\)

Até o momento cheguei até aqui.
Como devo prosseguir?

[Sobolev]

De acordo com os seus cálculos, tanto x como y são iguais a \(\lambda/2\) e portanto iguais entre si. Se na restrição substituir x por y (ou vice-versa) poderá calcular o valor de y (ou x), isto é,

\(x + 4y-8 = 0 \Rightarrow x + 4x -8 = 0 \Leftrightarrow x = \frac 85\)