Reta tangente a interseção do cilindro com gráfico

[emicre]

Oi, estou precisando de ajuda nesse exercício:

Ache a reta tangente interseção do cilindro x^2 + y^2 = 2 com o grafico de f(x,y) = x^3 + y^3 + 2 no ponto (1,1,4).

[Sobolev]

Em geral teria que utilizar o teorema da função implícita. Porém, neste caso, pode escrever explicitamente a parametrização da curva correspondente à intersecção.

\(\gamma (t) = (\sqrt{2} \cos t, \sqrt{2} \sin t, 2 \sqrt{2} \cos^3 t + 2 \sqrt{2} \sin^3 t + 2), \quad t \in [0, 2 \pi[.\)

A tangente a esta curva no ponto indicado tem a direcção de \(\gamma'(\pi/4) = (-1 , 1 , 0)\). A recta que procura é pois a recta com a direcção do vector (-1,1,0) que passa no ponto (1,1,4).