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| Se a função é diferenciável https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=9&t=7563 |
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| Autor: | hmm... [ 08 dez 2014, 19:54 ] |
| Título da Pergunta: | Se a função é diferenciável |
Sobre a função: \(f(x,y)=\frac{y^{4}-x^{5}cos^{3}(x+y)}{x^{2}+y^{2}}\) se \((x,y)\neq (0,0)\) \(f(x,y)=0\) se \((x,y)=(0,0)\) Calculei \(\frac{\partial f }{\partial x}(0,0)=0\) e \(\frac{\partial f }{\partial y}(0,0)=0\) Agora para verificar se f é diferenciável em (0,0) cheguei em: \(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{y^4-x^5cos^3(x+y)}{(x^2+y^2)(x^2+y^2)^{1/2}}\) Para igualar o limite a zero pensei em dividir o limite em dois e fazer uma parte limitada multiplicada por zero, como segue abaixo: \(0\leq\left \| y^{3} \right \|\leq(x^2+y^2)^{3/2}\Rightarrow -1\leq \frac{y^{3}}{(x^2+y^2)^{3/2}}\leq1\) \(0\leq\left \| x^{3} \right \|\leq(x^2+y^2)^{3/2}\Rightarrow -1\leq \frac{x^{3}}{(x^2+y^2)^{3/2}}\leq1\) Então: \(=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}y-\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}x^2cos^3(x+y)=0-0=0\) Não tenho certeza se está certo o procedimento final do limite, está certo? |
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| Autor: | Sobolev [ 09 dez 2014, 11:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Se a função é diferenciável [resolvida] |
Bom dia, Está correcto mas deve ser melhor justificado. Na verdade, para avaliar os dois limites que obtém no final usou o facto de o produto de um infinitésimo por uma função limitada ser ainda um infinitésimo. |
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