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Verificar se \(z=\sqrt{x^2+y^2}.arctg(\frac{y}{x})\), então \(x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z\)



Como chego neste resultado?!

muito obrigado !!

é só fazer as derivadas parciais de \(z\)

repare que \(z\) é um produto, logo é aplicar a regra da derivada do produto

se \(z=\sqrt{x^2+y^2}.arctg(\frac{y}{x})\), então

\(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\sqrt{x^2+y^2}\right).arctg\left(\frac{y}{x} \right )+\frac{\partial}{\partial x}\left(arctg\left(\frac{y}{x} \right ) \right ).\sqrt{x^2+y^2}=\\ \\=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}.arctg\left(\frac{y}{x} \right )+\frac{-(y/x^2)}{1+\left(\frac{y}{x} \right )^2}.\sqrt{x^2+y^2}=\\ \\=\frac{x.arctg\left(\frac{y}{x} \right )}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{y^2}{x^2+y^2}.\sqrt{x^2+y^2}=\\ \\=\frac{x.arctg\left(\frac{y}{x} \right )-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

faça o mesmo para \(\frac{\partial z}{\partial y}\) e depois tente juntar todas as peças do puzzle

nunca se esqueça que deriva parcialmente, e das regras da derivação
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_derivadas

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João Pimentel Ferreira
 
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