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Se w= w(x,y) é definido por \(w= xy.f(\frac{x+y}{xy})\), onde f é diferenciável. Mostre que existe uma função g(x,y) que verifica a equação \(x^{2}.\frac{\partial w}{\partial x}-y^{2}.\frac{\partial w}{\partial y}=w.g(x,y)\) e determine a função g(x,y).


Resp: g(x,y)= x-y


Como chegar neste resultado?


Muito obrigado !!

Note que,

\(x^2 \frac{\partial w}{\partial x} = x^2 y f(1/x + 1/y) - xy f'(1/x+1/y)
y^2 \frac{\partial w}{\partial y} = x y^2 f(1/x + 1/y) - xy f'(1/x+1/y)\)

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\(x^2 \frac{\partial w}{\partial x} - y^2 \frac{\partial w}{\partial y} = x^2 y f(1/x + 1/y)-x y^2 f(1/x + 1/y) = (x y f(1/x + 1/y)) (x-y) = w(x-y)\)

Observando a última igualdade podemos ver que escolhendo g(x,y)=x-y a equação é verificada.