Cálculo das dimensões de um paralelepípedo usando difereciais multiplas

[F.Augusto]

Uma caixa retangular tem um volume de 3,20 m . O material usado nos lados custa R$1,00 por
2 m , o material usado no fundo custa R$2,00 por 2 m e o material usado na tampa custa
R$3,00 por 2 m . Quais são as dimensões da caixa mais barata a ser fabricada nestas
condições?

Resp: largura = 2 m , comprimento = 2 m e altura = 5 m


Como chegar neste resultado?


Obrigado !!

[Rui Carpentier]

Olá,

Se x,y e z forem as dimensões da caixa (com x e y sendo as dimensões da base) temos que o custo da caixa será dado por \(\frac{5}{2}xy+xz+yz\) (é questão de multiplicar as dimensões de cada retângulo da caixa pelo preço por \(m^2\) e somar tudo). Temos como restrição que a caixa tem volume \(xyz=3,2 m^3\).
Portanto o problema resume-se matematicamente a minimizar \(\frac{5}{2}xy+xz+yz\) com as restrições \(xyz=3,2 m^3\) e \(x,y,z>0\).

Agora pode resolver de dois modos: usando multiplicadores de Lagrange, ou substituindo no custo a variável \(z\) por \(\frac{3,2}{xy}\) e minimizando (através do cálculo dos pontos de estacionaridade) a função a duas variáveis obtida por essa sustituição.

Tente resolver por um dos métodos e dê notícia dos progressos que consegui.