Bom dia,

Os pontos críticos são as soluções do sistema

\(\left\{\begin{array}{l} e^{x-y} (x^2-2y^2) + 2xe^{x-y}=0 \\ -e^{x-y} (x^2-2y^2) -4y e^{x-y}=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^2-2y^2 + 2x=0 \\ x^2-2y^2 + 4y=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} (2y^2-4y)-2y^2 + 2x=0 \\ x^2=2y^2 - 4y\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2y\\ (2y)^2=2y^2 - 4y\end{array}\right.\)

Ora, da última equação retiramos y = 0 ou y=-2, pelo que, sabendo que x=2y, se chega aos pontos referidos. Devemos agora classifica-los. Essa classificação pode ser feita através da matriz Hesseana. No caso do ponto crítico (0,0) a matriz Hesseana é uma matriz diagonal com entradas 2 e -4, sendo por isso indefinida (valores próprios com sinal contrário), o que conduz a um ponto sela. No caso do ponto crítico (-4, -2) , a matriz Hesseana é

\(H(-4,-2)=\left( \begin{array}{cc} -6/e^2 & 8/e^2\\ 8/e^2 & -12/e^2\end{array}\right)\)

que é uma atriz definida negativa (ver por exemplo o sinal dos determinantes dos menores principais), o que implica que (-4,-2) é um maximizante local.