Fórum de Matemática
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Mostre que, se \(u=9x^2+4y^2\), \(x=r.cos\Theta\) e \(y=r.sen\Theta\), então \(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r^{2}}.\frac{\partial^2 u}{\partial \Theta ^2}=8+10sen^{2}\Theta\)


Como chegar neste resultado? Já fiz as derivadas segundas e coloquei na equação mas o resultado não está batendo de jeito nenhum.


Obrigado !

\((i)\frac{\delta u}{\delta r}=18rcos^2\Theta + 8rsen^2\Theta\)

\((ii)\frac{\delta ^2u}{\delta r^2}=18cos^2\Theta +8sen^2\Theta\)

\((iii)\frac{\delta u}{\delta \Theta }=-18r^2cos\Theta sen\Theta +8r^2sen\Theta cos\Theta\)

\(Obs1: 2sen\Theta cos\Theta = sen2\Theta\)

\((iii)\frac{\delta u}{\delta \Theta }=-9r^2sen2\Theta +4r^2sen2\Theta=-5r^2sen2\Theta\)

\((iv)\frac{\delta ^2u}{\delta \Theta ^2}=-10r^2cos2\Theta\)

\(Obs2: cos2\Theta = 1-2sen^2\Theta\)

\((iv)\frac{\delta ^2u}{\delta \Theta ^2}=-10r^2cos2\Theta=-10r^2+20r^2sen^2\Theta\)

\(\frac{\delta ^2u}{\delta r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\delta ^2u}{\delta \Theta ^2}=18cos^2\Theta +8sen^2\Theta -10+20sen^2\Theta =18(1-sen^2\Theta )-10+28sen^2\Theta = 8+10sen^2\Theta\)

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