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| Cálculo de derivada de segunda ordem https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=9&t=7718 |
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| Autor: | Fernandobertolaccini [ 04 jan 2015, 14:02 ] |
| Título da Pergunta: | Cálculo de derivada de segunda ordem |
Mostre que, se \(u=9x^2+4y^2\), \(x=r.cos\Theta\) e \(y=r.sen\Theta\), então \(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r^{2}}.\frac{\partial^2 u}{\partial \Theta ^2}=8+10sen^{2}\Theta\) Como chegar neste resultado? Já fiz as derivadas segundas e coloquei na equação mas o resultado não está batendo de jeito nenhum. Obrigado ! |
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| Autor: | Edd [ 04 jan 2015, 19:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo de derivada de segunda ordem |
\((i)\frac{\delta u}{\delta r}=18rcos^2\Theta + 8rsen^2\Theta\) \((ii)\frac{\delta ^2u}{\delta r^2}=18cos^2\Theta +8sen^2\Theta\) \((iii)\frac{\delta u}{\delta \Theta }=-18r^2cos\Theta sen\Theta +8r^2sen\Theta cos\Theta\) \(Obs1: 2sen\Theta cos\Theta = sen2\Theta\) \((iii)\frac{\delta u}{\delta \Theta }=-9r^2sen2\Theta +4r^2sen2\Theta=-5r^2sen2\Theta\) \((iv)\frac{\delta ^2u}{\delta \Theta ^2}=-10r^2cos2\Theta\) \(Obs2: cos2\Theta = 1-2sen^2\Theta\) \((iv)\frac{\delta ^2u}{\delta \Theta ^2}=-10r^2cos2\Theta=-10r^2+20r^2sen^2\Theta\) \(\frac{\delta ^2u}{\delta r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\delta ^2u}{\delta \Theta ^2}=18cos^2\Theta +8sen^2\Theta -10+20sen^2\Theta =18(1-sen^2\Theta )-10+28sen^2\Theta = 8+10sen^2\Theta\) []'s |
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