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[Cálculo 3] Estude a continuidade das derivadas parciais de

f(x,y)=
xy + (2y²x/(x+y²)) se (x + y²) for diferente de 0

e xy se (x + y²)=0

Alguma alma caridosa sabe como fazer isso?

Refere-se a esta função??

\(f(x,y)=\frac{2y^2x}{x+y^2}, \ \ \ x + y^2 \neq 0\)

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João Pimentel Ferreira
 
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é, é essa função sim (:

Ora então...

\(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2y^2(x+y^2)-2y^2x}{(x+y^2)^2}=\frac{2y^4}{(x+y^2)^2}\)

\(\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{4yx(x+y^2)-2y(2y^2x)}{(x+y^2)^2}=\frac{4yx^2}{(x+y^2)^2}\)

Ambas anulam os denominadores quando \((x+y^2)=0\)

Ou seja as derivadas parciais aparentam ser descontínuas ao longo da parábola \(x=-y^2\)

Repare no entanto ainda que há um ponto interessante \((x,y)=(0,0)\)

é fácil provar através dos limites direcionais que \(\frac{\partial f}{\partial x}\) é descontínua em \((0,0)\)

No entanto repare que se fizermos o limite ao longo de uma recta de inclinação arbitrária \(m\) para \((0,0)\) de \(\frac{\partial f}{\partial y}\) temos:


\(y=mx\)

\(\lim_{x \to 0} \ \frac{4mxx^2}{(x+(mx)^2)^2}=\lim_{x \to 0} \ \frac{4m}{\frac{1}{x}+2m^2+m^4x}=\frac{1}{\infty}=0\)

Ou seja, o limite através de uma recta arbitrária para (0,0) dá sempre 0. O que significa que \(\frac{\partial f}{\partial y}\) poderá ser contínua ou não nesse ponto. Para sabê-lo, terá de ver pela definição

Volta sempre

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