Ora então...
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2y^2(x+y^2)-2y^2x}{(x+y^2)^2}=\frac{2y^4}{(x+y^2)^2}\)
\(\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{4yx(x+y^2)-2y(2y^2x)}{(x+y^2)^2}=\frac{4yx^2}{(x+y^2)^2}\)
Ambas anulam os denominadores quando \((x+y^2)=0\)
Ou seja as derivadas parciais aparentam ser descontínuas ao longo da parábola \(x=-y^2\)
Repare no entanto ainda que há um ponto interessante \((x,y)=(0,0)\)
é fácil provar através dos limites direcionais que \(\frac{\partial f}{\partial x}\) é descontínua em \((0,0)\)
No entanto repare que se fizermos o limite ao longo de uma recta de inclinação arbitrária \(m\) para \((0,0)\) de \(\frac{\partial f}{\partial y}\) temos:
\(y=mx\)
\(\lim_{x \to 0} \ \frac{4mxx^2}{(x+(mx)^2)^2}=\lim_{x \to 0} \ \frac{4m}{\frac{1}{x}+2m^2+m^4x}=\frac{1}{\infty}=0\)
Ou seja, o limite através de uma recta arbitrária para (0,0) dá sempre 0. O que significa que \(\frac{\partial f}{\partial y}\) poderá ser contínua ou não nesse ponto. Para sabê-lo, terá de ver pela definição
Volta sempre
