Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Use a regra da cadeia para calcular \(\frac{\partial f}{\partial x}\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}\) sendo
\(f=(x^2+y^2)\frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}\)
considerando um argumento u=u(x,y) conveniente.

Resposta: \(\frac{\partial f}{\partial x}=x(\frac{2u^2+2u-2}{(1+u)^2})\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}=y(\frac{2u^2+2u-2}{(1+u)^2})\)

Eu fiz assim:
\(u=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(f=u^2*\frac{1-u}{1+u}\)

\(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}*\frac{\partial u}{\partial x}\)

\(\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}*\frac{\partial u}{\partial y}\)

\(\frac{\partial f}{\partial u}=-\frac{2u(u^2+u-1)}{(1+u)^2}\)
Então:
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}*\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{2u(u^2+u-1)}{(1+u)^2}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=-\frac{2u(u^2+u-1)}{(1+u)^2}\frac{x}{u}=x(\frac{-2u^2-2u+2)}{(1+u)^2})\)
\(\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}*\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2u(u^2+u-1)}{(1+u)^2}*\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=-\frac{2u(u^2+u-1)}{(1+u)^2}\frac{y}{u}=y(\frac{-2u^2-2u+2)}{(1+u)^2})\)

Não dá igual às soluções (os sinais estão trocados) A minha resolução está bem?

Revi duas vezes e não vejo nada de errado com a sua resolução.
Porém tenho de salientar que quando escreve \(\frac{\partial f}{\partial u}\) está incorreto atendendo ao contexto. Porque quando se faz a mudança, a função f vai apenas depender de u. Por isso a forma correta é: \(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} u}\). São apenas preciosismos mas que quando se trabalha a grande escala, faz diferença.