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Presico de ajuda a calcular a derivada parcial dessa expressão.

\(f(x,y)=(x^2y^4+2)^5\)

Nesta questão o processo de resolução é fazer com que f dependa apenas de uma variável.

\(u=x^2y^4+2\)

Desta forma:

\(f(x,y)=u^5\)

Agora aplicaremos a regra da cadeia!
\(f\rightarrow u\rightarrow x,y\)

Então se se quiser calcular a derivada parcial de y:

\(\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}\)

\(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} u}=5u^4
\frac{\partial u}{\partial y}=4x^2y^3\)

\(\frac{\partial f}{\partial y}=(5u^4)(4x^2y^3)=20(u^4)(x^2y^3)=20(x^2y^4+2)^4(x^2y^2)\)

O mesmo método se aplica à derivada parcial para x.

Ou então sem usar explicitamente a regra da cadeia... Quando calcula a derivada parcial relativamente a uma das variáveis, se não existirem complicações de maior (função definida por ramos, problemas de diferenciabilidade, etc), basta considerar as restantes variáveis como constantes e derivar como se essa fosse a única. Neste caso,

\(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} ( (x^2y^4+2)^5) = 5 \cdot \frac{\partial }{\partial x} (x^2y^4+2) \cdot (x^2y^4+2)^4= 5\cdot (2xy^4)(x^2y^4+2)^4 = 10xy^4v(x^2y^4+2)^4\)

\(\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} ( (x^2y^4+2)^5) = 5 \cdot \frac{\partial }{\partial y} (x^2y^4+2) \cdot (x^2y^4+2)^4= 5\cdot (4x^2y^3)(x^2y^4+2)^4 = 10xy^4 (x^2y^4+2)^4=20 x^2y^3(x^2y^4+2)^4\)