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Derivadas Mistas - Como prosseguir com a resolução? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=9&t=8565	Página 1 de 1

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Autor:	Estudioso [ 24 abr 2015, 15:23 ]
Título da Pergunta:	Derivadas Mistas - Como prosseguir com a resolução?
Olá a todos! Suponha que z = f(x,y) onde x = g(s,t) e y = h(s,t). Admitindo derivadas mistas de segunda ordem contínuas, calcule \(\frac{\partial ^{2}z}{\partial\,t^2 }\). Estou travando feio numa parte da resolução e gostaria de ajuda para prosseguir \(\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\) \(\frac{\partial ^{2}z}{\partial\,t^2 } = \frac{\partial}{\partial t}\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )\left ( \frac{\partial x}{\partial t} \right )+\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial x}{\partial t} \right )+\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )\left ( \frac{\partial y}{\partial t}\right )+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial y}{\partial t} \right )\) Obrigado a quem puder ajudar.

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Autor:	Sobolev [ 24 abr 2015, 18:04 ]
Título da Pergunta:	Re: Derivadas Mistas - Como prosseguir com a resolução?
Repare que por exemplo \(\frac{\partial z}{\partial x}\) é uma função à qual pode ser aplicada a regra da cadeira. Então, \(\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \cdot \frac{\partial y}{\partial t}\) do mesmo modo, \(\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \cdot \frac{\partial y}{\partial t}\)

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Autor:	Estudioso [ 24 abr 2015, 23:01 ]
Título da Pergunta:	Re: Derivadas Mistas - Como prosseguir com a resolução?
Ainda está muito obscuro Sobolev Concordo que em \(\frac{\partial z}{\partial x}\) pode ser aplicada a Regra da Cadeia, mas não entendi o que você fez. Se eu conseguir entender o que foi feito nessa parte\(\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )\), em relação à y vai ser tranquilo pois é de maneira análoga. Desculpe o incômodo meu amigo. Obrigado

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Autor:	Estudioso [ 26 abr 2015, 18:07 ]
Título da Pergunta:	Re: Derivadas Mistas - Como prosseguir com a resolução?
Estou com uns 08 exercícios de meu livro sem resolver por não estar entendendo essas derivadas de segunda ordem Me dá uma clareada por favor Obrigado

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Autor:	Sobolev [ 27 abr 2015, 08:40 ]
Título da Pergunta:	Re: Derivadas Mistas - Como prosseguir com a resolução?
Talvez o mais fácil seja pensar que \(\frac{\partial z}{\partial x} = G\). Aplicando a regra da cadeia à função G, tem que \(\frac{\partial G}{\partial t} = \frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\). Depois basta recordar que \(\frac{\partial z}{\partial x} = G\), pelo que \(\frac{\partial G}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \\) \(\frac{\partial G}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \\)

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