Regra da Cadeia para Função de várias variáveis
25 abr 2015, 02:23
A produção W em um determinado ano depende da temperatura média T e do volume anual das chuvas R. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de 0,15°C/ano e a quantidade anual de chuva está decrescendo à taxa de 0,1cm/anos. Estimam ainda que, no atual nível de produção, \(\frac{\partial W}{\partial T}=-2\) e \(\frac{\partial W}{\partial R}=8\).
a) Qual o significado do sinal dessas derivadas parciais?
Não sei se estou correto, mas respondi: \(\frac{\partial W}{\partial T}\) é negativo dado que, se aumenta a temperatura anual, há uma diminuição da produção de trigo.
\(\frac{\partial W}{\partial R}\) é negativo pois, com o aumento das chuvas há também um aumento na produção de trigo.
Essa minha observação é muito óbvia
Existe uma outra forma de explicar isso?
b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo \(\frac{dW}{dt}\)
Utilizando a Regra da Cadeia (Caso 1) - Vinda do diagrama em anexo - tenho:
\(\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial t}.\frac{dT}{dt}\,+\,\frac{\partial W}{\partial R}.\frac{d R}{dt}\)
Substituindo os valores, tenho que: \(\frac{\partial W}{\partial t}= -1,1unid/ano\)
Uma dúvida nessa letra b: Para utilizar a Regra da Cadeia nesse exercício tenho que dizer que W é função diferenciável de T e R. O que me garante isso? É pelo simples fato de "depender" de T e R?
Obrigado
a) Qual o significado do sinal dessas derivadas parciais?
Não sei se estou correto, mas respondi: \(\frac{\partial W}{\partial T}\) é negativo dado que, se aumenta a temperatura anual, há uma diminuição da produção de trigo.
\(\frac{\partial W}{\partial R}\) é negativo pois, com o aumento das chuvas há também um aumento na produção de trigo.
Essa minha observação é muito óbvia
Existe uma outra forma de explicar isso? b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo \(\frac{dW}{dt}\)
Utilizando a Regra da Cadeia (Caso 1) - Vinda do diagrama em anexo - tenho:
\(\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial t}.\frac{dT}{dt}\,+\,\frac{\partial W}{\partial R}.\frac{d R}{dt}\)
Substituindo os valores, tenho que: \(\frac{\partial W}{\partial t}= -1,1unid/ano\)
Uma dúvida nessa letra b: Para utilizar a Regra da Cadeia nesse exercício tenho que dizer que W é função diferenciável de T e R. O que me garante isso? É pelo simples fato de "depender" de T e R?
Obrigado
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