Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá a todos!

Suponha que z = f(x,y) onde x = g(s,t) e y = h(s,t). Admitindo derivadas mistas de segunda ordem contínuas, calcule \(\frac{\partial ^{2}z}{\partial\,t^2 }\).

Estou travando feio numa parte da resolução e gostaria de ajuda para prosseguir

\(\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\)


\(\frac{\partial ^{2}z}{\partial\,t^2 } = \frac{\partial}{\partial t}\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )\left ( \frac{\partial x}{\partial t} \right )+\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial x}{\partial t} \right )+\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )\left ( \frac{\partial y}{\partial t}\right )+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial y}{\partial t} \right )\)

Obrigado a quem puder ajudar.

Repare que por exemplo \(\frac{\partial z}{\partial x}\) é uma função à qual pode ser aplicada a regra da cadeira. Então,

\(\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \cdot \frac{\partial y}{\partial t}\)

do mesmo modo,

\(\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \cdot \frac{\partial y}{\partial t}\)

Ainda está muito obscuro Sobolev

Concordo que em \(\frac{\partial z}{\partial x}\) pode ser aplicada a Regra da Cadeia, mas não entendi o que você fez.

Se eu conseguir entender o que foi feito nessa parte\(\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )\), em relação à y vai ser tranquilo pois é de maneira análoga.

Desculpe o incômodo meu amigo.

Obrigado

Estou com uns 08 exercícios de meu livro sem resolver por não estar entendendo essas derivadas de segunda ordem

Me dá uma clareada por favor

Obrigado

Talvez o mais fácil seja pensar que \(\frac{\partial z}{\partial x} = G\). Aplicando a regra da cadeia à função G, tem que

\(\frac{\partial G}{\partial t} = \frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\).

Depois basta recordar que \(\frac{\partial z}{\partial x} = G\), pelo que

\(\frac{\partial G}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \\)

\(\frac{\partial G}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \\)