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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x,y) = y³ + 3x²y - 6x² - 6y² + 2.

Estou fazendo assim:

\(f_{x}= 6xy-12x\)

\(f_{y}= 3y^2+3x^2-12y\)

Fazendo \(f_{x}= 0\), \(x=0\) ou \(x=2\).

Fazendo \(f_{y}= 0\), \(y^2+x^2-4y=0\).

Para \(x= 0\): \(y=0\) ou \(y=4\).

Para \(y= 2\): \(x=2\) ou \(x=-2\).

Sei que \(D=\begin{vmatrix} f_{xx} &f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{vmatrix}=f_{xx}\,.\,f_{yy}-(f_{xy})^2\)

Como faço para prosseguir por favor?

Obrigado

A matrix Hesseana (contendo as derivadas parciais de ordem 2) é dada neste caso por
\(H(x,y) = \left( \begin{array}{cc} 6y-12 & 6x \\ 6x & 6y-12 \end{array}\right)\)

Tem agora que calcular esta matriz para cada um dos pontos críticos que determinou. Se a matriz for definida positiva trata-se de um minimizante local, se for definida negativa é um maximizante local, se for indefinida é um ponto de sela. Se por acaso a matriz for semi-definida terá que fazer um estudo directo da função ou, eventualmente estudar o sinal dos termos de ordem 3 na fórmula de Taylor.

Para decidir se a matriz é def. pos., def. neg., etc pode usar vários critérios, por exemplo os sinais dos determinantes dos menores principais ou o sinal dos valores próprios.

Neste exemplo concreto:

max. locais: (0,0); (2,-2)
min. locais: (0,4)
ptos. sela: (2,2)